SECCIONES CONICAS

BREVE RESEÑA HISTÓRICA

Las cónicas fueron descubiertas accidentalmente por Menecmo (350 A.C.) pero fue Apolonio de Pergamo (262-190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas desc que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas; además demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes como las de reflexión.

Se dice que Arquímedes (287-212 A.C.) defendió Siracusa incendiando naves romanas utilizando las propiedades de los espejos parabólicos, más tarde René Descartes (1596-1650) tuvo la genial idea de relacionar las gráficas con las ecuaciones a este método ahora le llamamos Geometría Analítica.

Johannes Kepler (1570-1630) demuestra que la trayectoria de los planetas alrededor del sol son elipses.

hoy en día cuando estudiamos estos contenidos nos diera la impresión que son entes abstractos que no tienen ninguna relación con la vida real, sin embargo En nuestro entorno existen muchas aplicaciones de las mismas, las cuales utilizamos sin siquiera darnos cuenta, que están con nosotros ayudándonos en nuestro diario vivir.

Las figuras que se van a estudiar, reciben el nombre genérico de cónicas, ya que todas ellas se obtienen de la intercepción de un plano con una superficie cónica.

Superficie Cónica: recibe este nombre la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje:

Cónica: se denomina simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: Circunferencia, Elipse, Hipérbola y Parábola.

Si β > a entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si β ≤ a se obtiene una curva abierta.

    

Circunferencia.- Es la curva obtenida al cortar la superficie cónica por un plano paralelo a la base; mientras más se aproxime el plano al vértice del cono, mas pequeña será la circunferencia.

 

Parábola.- es la curva que se observa al cortar la superficie conica con un plano paralelo a la generatriz

Elipse.- es la curva que se observa al cortar un cono con un plano oblicuo respecto al eje. 

Hipérbola.- Es la curva que se genera al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a la base, pero que no pasa por el vértice de la superficie cónica.

CÓNICAS DEGENERADAS

 Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o incluso un punto, serían cónicas degeneradas.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LAS CÓNICAS

 Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias.

SECCIONES CÓNICAS

CÓNICAS DEGENERADAS

EXCENTRICIDAD DE LAS CÓNICAS

LA CIRCUNFERENCIA

La Circunferencia

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio.

Ecuaciones De La Circunferencia 

Teorema

La circunferencia de centro C( h ; k ) y radio r > 0 está dada por la ecuación: 

Demostración

Por definición el punto P( x ; y ) debe satisfacer la condición geométrica.

Esta expresión se la conoce como la ecuación ordinaria o forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia y también se la denomina ecuación particular.

Si el centro se encuentra ubicado en el origen de coordenadas y presenta un radio r, tiene por ecuación

Particular:

Esta ecuación es la forma canónica de una circunferencia

Ecuación general de la circunferencia:

Desarrollando los cuadrados de los binomios en la ecuación ordinaria de la circunferencia:

Análisis de los coeficientes reales de la ecuación general de la circunferencia

Para realizar el siguiente análisis se debe llevar a su forma ordinaria a su forma ordinaria la ecuación general de la circunferencia:

Sintetizando las situaciones más frecuentes, en que queda definida una circunferencia y determinada su ecuación, se dan cuando se conocen:

·     Tres puntos no colíneales

·     El centro y el radio

·     Un punto de la circunferencia y el centro

·     Los extremos de un diámetro

·     El centro y una recta tangente a la circunferencia

ALGUNOS EJEMPLOS

Encontrar el radio y el centro de la circunferencia de ecuación

 

Dado el siguiente gráfico hallar la ecuación de la circunferencia y de la recta tangente

LA PARABOLA

LA PARÁBOLA

DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada directriz; y a un punto fijo llamado foco son iguales.

Elementos de la Parábola

Eje de simetría: También denominado eje focal es la Recta imaginaria que divide a la parábola en dos partes iguales.

Vértice: Punto fijo donde la parábola se intercepta con su eje de simetría; equidista del foco y la directriz.

Foco: Punto fijo donde se intercepta el eje de simetría y el lado recto.

Lado recto: segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría.

Directriz: Recta perpendicular al eje de simetría cuya distancia al vértice es: a

EJEMPLOS

Hallar la ecuación de la parábola que tiene foco en el punto (1;2) y directriz x=7.

Resp. V(h,k) = ? ; a = ?

Graficamos el foco y la directriz y concluimos que a=3; como el vértice se encuentra entre el foco y la directriz, entonces V(4;2).

Reemplazamos V(4;2) y a=3 en la ecuación con signo negativo porque vemos que la parábola abrirá hacia la izquierda.

APLICACIONES DE LA PARABOLA

PAGINAS RECOMENDADAS

http://www.vadenumeros.es/primero/conicas-circunferencia-y-elipse.htm

http://www.unizar.es/aragon_tres/u5conre.htm

http://www.vitutor.com/geo/coni/f_1.html

http://www.segundoperez.es/MatI/MIConicas.htm